Limite d'une intégrale

Soit \(f\)  une fonction dérivable et de dérivée continue sur \([0;1]\) .
L'objectif de cet exercice est d'étudier la limite, quand \(n\)  tend vers \(+\infty\) , de \(n{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}\) .
On admet le théorème suivant : toute fonction continue sur un segment (intervalle fermé borné) est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, si une fonction \(f\) est définie et continue sur un intervalle \([a~;~b]\) , alors il existe deux réels \(M\)  et \(m\) tels que, pour tout \(x\) de \([a~;~b]\) , \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) .

1. Montrer que \({\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}=\dfrac{f(1)}{n+1}-{\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\int_{0}^{1}f'(x)x^{n+1}\mbox{d}x}\) .

2. Démontrer que \(\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\int_{0}^{1}f'(x)x^{n+1}\mbox{d}x=0\) .

3. En déduire la limite de  \(\left(n{\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)x^{n}\mbox{d}x}\right)\) .